4.1 Concepto de incremento y razón de cambio. la derivada de una función

Incremento:

[El incremento D x de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento D x a la variable x , (es decir, si x pasa de x = x 0 a x = x 0 +D x ), la función y = f ( x ) se verá incrementada en D y = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 ) a partir del valor y = f ( x 0 ) . El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a x = x 0 + D x .

Razón de cambio:

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

• El volumen de un globo mientras se infla

• La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t,por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la funciónQ=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Es decreciente

 Es creciente 

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

La derivada de un función:

Desde el punto de vista geométrico la derivada equivale a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado. 
La derivada de una funcion es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación

Véase también:

http://docente.ucol.mx/grios/calculodiferenc/incremento.htm
http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html